高中数学：排列与组合公式的推导

对于数较大的题目，如果仅仅靠乘法原理和加法原理来解题难度就较大，今天重点将讲一下排列与组合公式

排列的定义：从n个不同元素中任取m（m≤n）个，按一定顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作：A(n,m)

如何理解和记忆排列组合的基本计算公式呢？

排列计算公式推导：

把n个不同元素任意选m个进行排列，按照乘法原理分步进行

取第一个：有n种取法；

取第二个：有n-1种取法；

……

取第m个：有（n-m+1）种取法；

根据分步原理得到以下公式：A(n,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)

n、m∈N,且m≤n，（规定0！=1）

组合的定义：从n个不同元素中任取m（m≤n）个的组合数（顺序无关）记作：C(n,m)

下面介绍组合公式的推导：

将部分排列问题分解为两步：

第一，就是从从n个不同元素中任取m个出来，先不排顺序，此即为组合C(n,m)；

第二，把取出来的m个元素进行全排列，即为A(n,m)

所以得到　　

　　C(n,m)=A(n,m)÷A(m,m)=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)÷(m!)　

　　例题1：利用数字1～9共可组成多少个无重复数字的三位数。

　　用排列来算就是A(9,3)=9×8×7=504

　　乘法原理：百位9种选法，十位8种选法，个位7种选法。所以9×8×7=504

　　例题2：10支队伍进行单循环比赛(每两队赛一场)，共进行多少场比赛如果考虑顺序，从10支队里选2支共有A(10,2)种方法，或乘法原理10×9。但是其中先选甲后选乙，与先选乙后选甲是同一场比赛，所以去掉重复(2支的排列数)。

　　C(10,2)=A(10,2)÷A(2,2)

　　虽然看起来用乘法原理也一样可以算出来，但是做一些比较复杂的题时就能看出排列组合的威力了。