浅谈流体力学中的NS方程（上）

在2014年，我与好几个学友谈论过流体力学中的NS方程。眼下有空，也就把自身近几年的思考简述如下。

就NS方程的推导及其所反映的客观现象而言，NS方程是对流体微元在瞬时意义上变形运动的描述。在流体力学本构方程中的压力是天外来客，在力学本质上，压力的空间梯度是微元体惯性力的表征。然而，在本构方程中，它是被置于变形应力的地位。从而，在哲学上，惯性力（牛顿意义上的）是没有独立地位的。这是因为，如果研究稳态流动，则压力是产生变形力（流速空间梯度）的唯一原因（反之也然）。

微元体本身的绝对惯性速度（整体平移）是对流体应变没有贡献的，这个假疵也就由压力来作为补赏项以各向同性应力的形式而出现了。就最原始的流体力学而言，压力是由流体的物性及整体平移速度所确定的。而对于漩涡的研究也表明，漩涡的转速（或是旋度）也是由局部整体的转动速度所决定的。而这类局部整体转动在局部效果上等价于局部整体平移，从而也反映为压力的局部特征。由于在这个局部意义上的整体是有强烈的局部尺度依赖性质的，所以对流体动力学学而言，尺度性是非常明显的。

在大尺度上，如果整体的惯性平移被压力所包容（速度梯度已消除的空间不变速度部分），那么在此尺度下的局部整体转动（小涡）就被忽略了。而在方程中的忽略只是表明方程本身的局限性，并不能被看成是正确的（物理上真实的）。因而，总可以通过把尺度变小来把适当尺度的小涡考察进来。得到的好处是应力（或压力）更接近于局部实测量，但是，由此所付出的代价是在NS方程中不断的补充新的应力（或压力）项。方程趋向于无限的复杂化。最后干脆就是把流体动力学运动看成是一个统计学现象，从而，在哲学上是对其原出发点NS方程的否定。

对于固体变形，整体的平移、转动对应变没有贡献，从而也对应力没有贡献。这基本上是把运动中的固体等价于静止的固体，哲学上认为：整体的平移、转动对局部变形没有贡献。这基本上是可以接受的（近似意义上）。但是，对流体这是明显的无法接受的。然而，流体力学以引入静水压力的方式，在速度梯度为零时保持了应力的存在。这是区别于固体变形力学的。因而，我们可以认为，静水压力项在动力学方程上的意义是把整体的平移、转动的物理效应以间接的方式给强行纳入进来。

事实上，理性力学家在1965年前后对于这个问题的看法是：在整个连续介质力学中，以本构方程来区别流体物质和固体物质是形式上协调的，但是在物质定义上是不协调的。间接的认为，流体的本构方程是非理性的。其中，Truesdell则明确的在其专著中表明静水压力项的存在是力学理论无法讲清的，只能作为一个经验项被动的接受下来。

在回头看NS方程的推导，压力项是以隐含的方式被应力项所隐盖的，从而其有效性是在回避压力的独立物理意义而取得的，在实质上把流体微元等价于高速运动中的可变形固体微元。在这样一个哲学意义下也就明确了：连续性方程是一个事后的补充办法。

因而，我们可以看到这类做法是比较有成绩的：把连续性方程看成是一个独立方程（再本质上是补充一个关于局部整体惯性速度的约束方程），而NS作为变形力学方程。

事实上，如果客观的看待一百年来的流体力学研究，那么Truesdell对涡量的研究是要把局部的整体转动从NS方程中剥离出来，认为它满足其它的动力学方程（类似于角动量守恒类），而欧拉的流体力学方程基本上就是立足于角动量守恒的考虑。当然，NS方程也可以接近圆满的表达涡动，但是付出的代价是变尺度的把涡搞成尺度上的分形属性（嵌套结构）。在多个尺度上重复使用NS方程在力学理论上看是一种变通办法，也是理论局限性的特征体现。

另一类比较有效的办法是先引入一个流矢量函数，既由它来定义流动的整体属性，也由它来定义流体微元的变形属性，这样，与NS方程不同的是，对于流函数，有独立的物理方程作为控制。目前，此类理论还在发展之中。可以把它概括为：修订NS方程，至少引入一组关于流动整体属性的动力学方程。

虽然有关的研究工作没有明确的说明：光是NS方程不足于描述流体动力学方程（从而NS方程无唯一解，或无解），但是其隐含的理念是如此的。我记得多数的国际流体力学权威期刊 (Fluiddynamics) 接受文章的前提是：无条件接受NS方程，不接受反对NS方程的论文。不知现在是否还是如此。这是造成NS当前绝对主导地位的基本原因，而非是NS本身的威力。

因此，我认为（这也是我在研究中的论题），流体力学未来的进展在于：

1. 在给定尺度下，整体的平移、转动虽然对应变没有贡献，但是对于流动是有决定性作用的，需要有专门的运动方程来表达；
2. 压力的变化应与变形应力区别开来，从而，压力不应是作为静水压力来表征，而是作为以整体流速、涡度为自变量的二阶张量来表征；
3. 固体的连续性概念不能简单的移值到流体中，需要有新的数学表达形式，而这种表达方式更类似于以物理属性为标准的办法，而不是以实质性的微元流体来表征。

总而言之，流体运动的复杂性在于我们无法把固体力学理论（变形力学）以一一对应的方式移值过去，也无法把质点系力学理论（拉氏力学，哈氏力学）以一一对应的方式移值过去，而必须是二者的某种组合。而这种组合又必须是物理学或力学原理所决定的，而不是我们简单的分解为独立的两种运动的叠加（加法的或是乘法的）结构。

我认为，也只有在有了上述的大致结构后，热力学量（熵，温度）、化学量（化学反应）、及分子动力学效应（多相，多组分）等才能有比较可靠的理论途径来进入对复杂流动问题的研究中。

无论如何看待NS方程，流体力学的高难度决定了它是本世纪的热门研究课题。而把NS作为单一路径的研究方案注定是令人失望的，而几乎所有的研究者对修改NS的各类方案都是持怀疑态度的，更不用说形成前赴后续的连续攻关形势了，而达成共识就是很遥远的未来的事了。因而，多数力量还将是针对NS方程，但是无非是后人把半个世纪前后的前人所做的全部研究工作再来一遍而已，研究结论本身是不会变的，变的只不过是说法。从科学哲学上看，这是一个以NS方程为中心的逻辑怪圈。

来源：肖建华科学网博客