三角函数的周期典型例题(有关三角函数周期性的典型例题）

一.周期函数

1.周期函数的定义：

对于函数f(x)，如果有一个非零常数t，使得当x取定义域中的每一个值时，有f(x t)=f (x)，那么函数f(x)称为周期函数。t称为这个函数的周期。

2.最小正周期：

如果周期函数f(x)的所有周期都有一个最小正数，那么这个最小正数叫做f(x)的最小正周期。

典型示例1:

1.求三角函数的定义域，其实就是解简单的三角不等式，往往是用三角函数线或者三角函数图像来求解。

2.以下方法常用于解决涉及三角函数值域(最大值)的问题：

(1)利用sin x和cos x的范围；

(2)将形式复杂的函数转化为y=asin ( x ) k的形式，逐步分析 x 的取值范围，根据正弦函数的单调性写出函数的取值范围(如本例，检验方法(2))；

(3)换元法：将sin x或cos x作为一个整体来考虑，可归结为求一个函数在给定区间内的取值范围(最大值)的问题(如例1 (2))。

二。正弦函数、余弦函数和正切函数的图像和性质

示例2:

1.在求三角函数的单调区间时，首先要将函数转化为y=asin ( x ) ( 0)的形式，然后根据三角函数的单调区间求x所在的区间。我们应该特别注意要考虑的问题应该在函数的域内。

2.周期性是函数的总体性质。要求函数全域内的每个x值都应满足f(x t)=f (x)，其中t为非零常数。如果只有个别x值满足f (x t)=f (x)，或者甚至只有一个x值不满足f (x t)=f (x)

典型示例3:

1.三角函数奇偶性的判断技巧

首先要对函数的解析式进行恒等式变换，然后根据定义和归纳公式判断三角函数的奇偶性。也可以根据图像做出判断。

2.三角函数周期的求法。

(1)利用周期函数的定义；

(2)利用公式：y=asin ( x )和y=acos ( x )的最小正周期为(2)，y=tan ( x )的最小正周期为()；

(3)运用形象。

三、三角函数的单调区间应注意以下几点：

典型示例4:

正弦和余弦函数的图像都是中心对称和轴对称的。正切函数的图像只有中心对称，要记忆其对称轴和对称中心，注意数形结合思想的应用。

[作者：吴国平]