江苏数学高考试卷「江苏高考数学难度」

#教育听我说#大家好！本文和大家分享一道2006年江苏高考数学真题。这道题是当年数学试卷的填空压轴题，是一道解不等式的题目，看起来挺简单，但是正确率却却不到10％，真的还是挺意外的。接下来我们一起来看一下这道填空压轴题。

题目见上图。这是一道对数不等式的题目，所以需要先将不等式右边的常数也化为以2为底数的对数，然后利用对数函数的单调性求解。

我们先看一下同学们比较容易犯的两个错误。

错解1中犯了两个错误，一是忽略了对数的真数必须为正数的限制条件；二是解不等式出了问题。第一个错误是平时不注重基础知识即对数的概念的学习导致的，第二个错误则是计算问题。

错解2中相比于错解1，增加了对数的真数必须大于零的条件，但是在解不等式的过程中还是出了问题。那么这道题正确的解法是什么呢？下面就和大家分享2个常用解法。

解法一：

将不等式变形后，利用对数函数的单调性可以得到：0＜x+1/x+6≤8。这实际上就是一个不等式组，我们可以用分类讨论的方法求解。

先解x+1/x+6＞0，可以得x＞0且x^2+6x+1＞0，或x＜0且x^2+6x+1＜0，解得x＞0，或者-3-2√2＜x＜-3+2√2。

再解x+1/x+6≤8，分类讨论得到：x＞0且x^2-2x+1≤0，或x＜0且x^2-2x+1≥0，解得x=1或x＜0。

综合上面就可以得到原不等式的解。

解法二：

同解法一，得到：0＜x+1/x+6≤8。解法一我们用的是分类讨论的方法，但是很多同学在分类时出现错误，所以解法二就换一个方法，用分式不等式和高次不等式(穿根引线)来求解，这样就免去了分类讨论的麻烦。

先解x+1/x+6＞0，先通分，得到(x^2+6x+1)/x＞0，接着分式化整式，得到x(x^2+6x+1)＞0，然后求出对应方程x(x^2+6x+1)=0的三个根，分别为0、-3-2√2、-3+2√2。接着在数轴上标出三个根，从右上角开始穿根，从而得到此时x的范围。

再解x+1/x+6≤8，按照同样的方式先通分，再化分式为整式，再用“穿根引线”的方法求解。

需要注意的是，在使用“穿根引线”解高次不等式时，当最高次的系数为正数时，从右上角开始穿，当最高次项的系数为负数时，从右下角开始穿。另外还有一个要求就是“奇穿偶回”，也就是说碰到一个根对应的x的次数为奇数是就穿过，x的次数为偶数时就返回而不穿过。比如上面x=1是(x-1)^2=0的根，所以我们是返回而不是穿过，这是很多同学没有注意的地方。