排列数公式「排列组合公式秒懂」

一、基础型

• 排列（A) 有序
• 组合 （C)无序
• 分类型 (加法，关键词：要么。。。。。要么。。。)
• 分步骤 （乘法，关键字：既。。。。又。。。）

1、排列相关公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列；

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数;

用符号A(n,m)表示。

A(n,m)=n(n-1)(n-2)……(n-m+1)= n!/(n-m)! (规定0!=1).

2、组合相关公式

从n个不同元素中，任取m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合；

从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数.

用符号c(n,m) 表示.

C(n,m)=A(n,m) / A(m,m) = A(n,m)/m!=n!/((n-m)!*m!)；

C(n,m)=C(n,n-m);

例1：

罐中有12颗围棋子，其中8颗白子，4颗黑子。从中任取 3颗棋子。则至少有一颗黑子的情况有（）

A.98种

B.164 种

C.132 种

D.102 种

答案：B

解析：

这题是考无序，采用逆向思维，总的可能为C(12,3) , 三次都是白子的可能为C(8,3)

所以至少有一颗黑子的情况为 C(12,3) - C(8,3) = 220 - 56 - 164 所以选择B

例2：

某公司销售部拟派3名销售主管和6名销售人员 前往3座城市进行市场调研，每座城市派销售主管1名，销售人员2名。

那么，不同的人员遣方案有（）

A. 540种

B. 1080种

C.1620 种

D. 3240 种

答案：A

解析:

该题涉及到了”分步“，总共三座城市A,B,C，先分A,后分B,最后分C

A ---B ---C 依次分配C(3,1) * C(6,2) * C(2,1) * C(4,2) = 540 所以选择 A

二、模型类

• 相邻问题：捆绑法（先把相邻的捆绑，需要注意内部是否有序，看成一个整体），分步运算
• 不相邻问题：插空法（可以先安排可以相邻的元素，再将不能相邻的插空），分步运算
• 平均分组：注意去重复
• 至少分组：中间插板法：解决至少分配的问题

例1【相邻问题】：

为加强机关文化建设，某市直机关在系统内举办演讲比赛，3个部门分别派出3、2、4名选手参加比赛，要求每个部门的参赛选手比赛顺序必须相连，问不同参赛顺序的种数在以下哪个范围之内？（）

A...大于 20000

B. 5001-20000

C. 1000~5000

D.小于 1000

答案：C

解析：

题目中要求每个部门的参赛选手必须相连 ，则该题目为“相邻问题”类型，使用捆绑法。把一个部门派出的所有人当做一个整体。A(3,3) * A(2,2) * A(4,4) * A*(3,3)（三个部门不同的出场顺序，所以还需要乘以 A(3,3)） 1000。所以选择 C

例2【不相邻问题】:

小区内空着一排相邻的8个车位，现有4辆车随机停进车位，恰好没有连续空位的停车方式共有多少种？（）

A.48

B. 120

C.360

D.1440

答案：

解析：

"恰好没有连续的空位",该题型为“不相邻问题"，分成两步走。

第一步：有四辆车停车，A(4,4) 因为车不相同, 四辆车会形成5个空位。

O: 空位 A：车

O A O A O A O A O

第二步：从这5个空位选出4个空位进行排列（插空法）。C(5,4)

A(4,4) * C(5,4） = 24 * 5 = 120 所以选择B

例3：

将7个大小相同的桔子分给4个小朋友，要求每个小朋友至少得到1个桔子,.

一共有几种分配方法？（）

A. 14

B. 18

C. 20

D. 22

答案：C

解析：

该题型可以用插板法进行解决。

O:桔子

O O O O O O O

七个橘子中间有6个空，可以插3块板，就可以分成4份，刚好对应四个小朋友的分到的桔子 （插一块板，可以分成2份，插2块板可以分成3份。。。）

C(6,3) = 6 * 5 *4 / (3 * 2) = 20 所以选择C

例4【平均分组】：

某单位组织志愿者参加公益活动，有8名员工报名，其中2名超过50岁。现将他们分成3组，人数分别为3、3、2,要求2名超过50岁的员工不在同组，则不同分组的方案共有（）

A.120 种

B.150 种

C.160种

D.210 种

答案：D

解析：

有两种分法，^：老人所在位置

3 3 2

^ ^

相当于把不是老人的6人平均分成3组，每组2人，然后2个老人任选两组

C(6,2) * C(4,2) * C(2,2) * C(3,1) * C(2,1) / A(3,3) = 90种，其中 除以A(3,3) 是因为平均分成3组（平均分成N ,则需要除以A(N,N)）。

3 3 2

^ ^

先从不是老人的6人中拿出2人为第一组，然后从4人中拿出3人为第二组，最后一人为第三组，然后两个老人在第一组和第三组各自选一组，C(6,2) * C(4,3) * C(1,1) * C(2,1) = 120种。所以总方案有 90+120 = 210种，答案选择D。