李开周：零不是自然数，零是最小的自然数

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日期：2023-01-19 09:06

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作者李开周

来源节选自《武侠数学》的序言，李开周著，化学工业出版社。

就人类整体而言，思想是不断进步的，后人的认识通常会超越前人，我们对零的认识也是如此。20 世纪 70 年代或 80 年代开始读书的朋友必定都记得，当时的数学课讲自然数，都从 1 开始，1 是最小的自然数。现在的孩子上小学，数学老师却会告诉他们，最小的自然数是0。短短几十年，从“零不是自然数”到“零是最小的自然数”，人们的认识又有了一个飞跃。

零是数字，零是整数，我们受过基础教育，觉得这些认识都很自然。零居然是自然数，这个认识就显得不那么自然。我们平常数数，数某种事物有多少，不都是从1 开始吗？没见过从0 开始数的。如果哪位指着一堆苹果开始数：“0、1、2、3、4……”大概会有人觉得他不正常。

1889 年，意大利数学家朱塞佩·皮亚诺（Giuseppe Peano，1858 年—1932 年）提出五条公理，可用文字描述如下：

公理 1：1 是自然数；

公理 2：每个确定的自然数 a，后面都有一个确定的相邻数 a′，a′也是自然数；

公理 3：1 不是任何自然数后面的相邻数；

公理 4：不同自然数拥有不同的相邻数；

公理 5：任意关于自然数的命题，如果能证明该命题对 1 为真，并且它对自然数 a 为真时可证明它对 a′也为真，那么这个命题就对所有自然数为真。

这五条公理称为“皮亚诺公理”，其中第一条、第三条和第五条公理，都不假思索地认定 1 是最小的自然数。将皮亚诺公理运用于当时的数学体系，严丝合缝，堪称数学大厦的一块基石。

皮亚诺为数学大厦提供基石的同时，别的数学家也在为数学大厦添砖加瓦。19 世纪末，就在皮亚诺提出五条公理不久以后，数学的一大分支“群论”发展到关键时期，一些数学家用群论这把利器重新解剖整数和自然数，发现了一个非常危险的破绽：如果不把零放进自然数群，整数群就会变得不完整。所以，为了能让数学体系互不矛盾、自成逻辑，为了保证整个数学大厦固若金汤、坚不可摧，这些数学家就让零加入自然数家族，成为最小的自然数。

进入 20 世纪，有的数学教材把零当成自然数，有的数学教材坚持零不是自然数，时间越往后，认可零是自然数的教材就越多。在欧美数学界，主流意见都认为零是自然数。所以在 1993 年，中国国家技术监督局修订“量和单位”的国家标准，规定零是自然数。于是乎，我们的数学教材随之修改。于是乎，00 后新生代在零的认识上与国际接轨，70 后与 80 后家长被甩在后面。于是乎，爸爸妈妈们辅导小朋友数学作业时，会有这样的对话：

“宝贝，最小的自然数是 1，你这道题写错了。”

“没有错，老师今天刚讲过，零也是自然数！”

家长不信，一查教材，果然！大惑不解：“咦，是不是印错了？”而看过本书的爸爸妈妈就不会有这样的困惑。

在本章最后，让我们再温习几点关于零的知识。