江苏高考 数学「江苏高考数学难度占比」

大家好！本文和大家分享一道2006年江苏高考数学真题。这道题是当年那套试卷的第20题，也就是倒数第二题，满分16分，其中第一小问满分4分，第二小问和第三小问满分都是6分。这道题的难度还是很大的，全班没有一人得到满分。

首先来看一下第一小问：求t的取值范围及函数的解析式m(t)。

求t的取值范围，实际上也就是求函数t=√(1+x)+√(1-x)的值域，所以需要先求出函数t的定义域，即1+x≥0且1-x≥0，解得-1≤x≤1。而对于双根号的函数，可以尝试用平方法求值域，两边平方后得到t^2=2+2√(1-x^2)。由x的范围可知0≤1-x^2≤2，那么2≤t^2≤4。又t≥0，所以√2≤t≤2。

由t^2的表达式可以用t^2表示出√(1-x^2)，然后代入f(x)的解析式，这样就可以得到m(t)的解析式。需要注意的是不要漏掉了t的取值范围。

再看第二小问：求g(a)。

g(a)是函数f(x)的最大值，也就是函数m(t)的最大值，所以接下来只需要求出m(t)在[√2,2]上的最大值即可。

由于m(t)的解析式的二次项含有参数，所以需要对参数进行讨论。

当a=0时，m(t)=t，是增函数，所以g(a)=m(2)=2。

a≠0时，m(t)就是一个关于t的二次函数，这样也就变成了动轴定区间的二次函数最值问题。

当a＞0时，m(t)为开口向上的二次函数的一段，且该二次函数的图像的对称轴为t=-1/a＜0，即m(t)的图像只是完整二次函数在对称轴右侧的一部分，所以m(t)为增函数，故g(a)=m(2)=a+2。

当a＜0时，m(t)为开口向下的二次函数的一段，接下来就分二次函数的对称轴在区间的左侧、内部、右侧三种情况讨论。当对称轴在区间左侧时，m(√2)为最大值；在区间内部时，m(-1/a)为最大值；在区间右侧时，m(2)为最大值。

最后，综合上面的情况，得到g(a)的表达式。

最后看第三小问：求a的值。

这一问很多同学看了就头疼，其实理清思路后就简单了。要求g(a)=g(1/a)的解，那么首先需要表示出g(1/a)的解析式，而要求g(1/a)的解析式，就需要对1/a的范围进行讨论。所以，这一问最终还是用分类讨论的方法求解。

不过，在讨论时要兼顾到a和1/a的范围，所以分类要更细才行。详细过程见下图：

这道题的难度确实比较大，不少同学连第一小问都没能求出来，更多的同学则是在第二和第三小问丢了分。第二小问中很多同学忽略了a=0的情况，第三小问也是分类不够细导致出错。你觉得这道题难吗？